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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
>, Fibonacci2]" width="フィボナッチ数列の一般項 55" height="15" /> の虚部をプロットする:

フィボナッチ数列の一般項

C言語は、1972年にAT&Tベル研究所の、デニス・リッチーが主体となって作成したプログラミング言語です。 B言語の後継言語として開発されたことからC言語と命名。そのため、表記法などはB言語やALGOLに近いとされています。 Cの拡張版であるC++言語とともに、現在世界中でもっとも普及されているプログラミング言語です。

再帰関数を使ってフィボナッチ数列と一般項を出力

C言語は、1972年にAT&Tベル研究所の、デニス・リッチーが主体となって作成したプログラミング言語です。 B言語の後継言語として開発されたことからC言語と命名。そのため、表記法などはB言語やALGOLに近いとされています。 Cの拡張版であるC++言語とともに、現在世界中でもっとも普及されているプログラミング言語です。

投稿 2019/06/26 18:20

フィボナッチ数列のFn/Fn-1の値を求める(再帰関数)

値を n に入力しフィボナッチ数列 Fn を求めてから隣り合う項 Fn / Fn-1 を計算する(例:5/3 = 1.6666666667)コードを書いているのですが、出力の方法がいまいち分かりません。計算方法は分かるのですがコードに起こそうとすると訳が分からなくなります。

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11月23日はフィボナッチ数列と黄金比と音楽について語ろうの巻

フィボナッチ数列は、図形で表すこともできます。
🌻1辺の長さが1の正方形を2つならべます。すると横の長さは1、縦の長さは2になります。
🌻その隣に、1辺の長さが2の正方形をおきます。横の長さは3になりますが縦の長さは2のままですね。
🌻その下に(上でもよいですが)横の長さ3を一辺とする正方形を描きます。すると横の長さは3のままで縦の長さは5になります。フィボナッチ数列と同じ数字が現れていることにお気づきでしょうか。
🌻以下同様に、1辺の長さが5の正方形、8の正方形、13の正方形…を並べていって、大きな長方形を作ります。こうして作られていく長方形の縦・横の長さを並べると、フィボナッチ数列になるのです。(下図)

☆渦巻を描いてみると

自然界において、どういうわけかフィボナッチ数列がよく出現することが知られています。
例えば、先ほど描いた長方形に渦を描いてみると…

☆まだある自然界のフィボナッチな面々

🌻花びらの数はフィボナッチ数であることが多いです。

3枚:ユリ、アヤメ、エンレイソウ
5枚:オダマキ、サクラソウ、キンボウゲ、ノイバラ、ヒエンソウ
8枚:デルフィニウム属、サンギナリア、コスモス
13枚:シネラリア、コーンマリゴールド
21枚:チコリー、オオハンゴンソウ
34枚:オオバコ、シロバナムシヨケギク
55枚:ユウゼンギク
89枚:ミケルマス・デイジー

などなど。ただし、花びらの数が144に達することはありません。この89という数は、他の自然界に見られるフィボナッチ数の例でも限界になっていることが多いらしいです。特別な数なのでしょうか?

🌻ひまわりの種など、植物の花や実に現れる螺旋の数もフィボナッチ数であることが多いです。
🌻パイナップルの螺旋の数は時計回りは13、反時計回りは8になっています。ちなみにパイナップルは形は松(pine)、味はリンゴ(apple)に似ていることから、パインとアップルでパイナップルになりました。
🌻ハチやアリなど、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れます。(父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹…。)おもしろいですね。

まあキリがないのでこのくらいにしましょうか。そういえば、恩田陸さんの傑作小説『蜜蜂と遠雷』でも、天才少年の風間塵が海辺で巻き貝を拾い、「フィボナッチ数列だね」と言うくだりが出てきます。

☆音楽と数学

🎹音楽と数学はめっちゃ関係がある

現在使われている「ドレミファソラシド」を「平均律」というのですが、平均律の祖先は、「ピタゴラス」の定理(三平方の定理、とも言います)で知られるピタゴラス(紀元前582年~ 紀元前496年、古代ギリシア)が考案した「ピタゴラス音律」と呼ばれるものです。

🌻ピタゴラス音律は今のものとは異なり、21音からなります。なぜでしょうか。

例えば現在では、ド#とレ♭は同じ音として扱われます。しかし、ピタゴラス音律では似て非なるものとされていました。
ド♭、ド、ド#、レ♭、レ、レ#、ミ♭…と数えていくと、ドレミファソラシの7音×3種類=21音になる
のです。

ピタゴラス音律にも、その後につくられた様々な音律にも一長一短があり、その良いとこどりをする形で現在の「平均律」が作られました。平均律はオクターブを12等分しているので、どんな調でも同じ調律で演奏ができるというメリットがあるのです。こうして、ピタゴラス時代には21音だった音律は、現在では12音となりました。
⚠️「微分音(半音の半分または1/3)」という、12音から外れた音程も使用されているようですが長くなるのでこの記事では割愛します。

(画像はこちらのサイトより引用)
※1オクターブは白鍵が7、黒鍵が5、計12音となっていることをお確かめください🎹

🎵周波数(振動数)

ちなみに「1オクターブ」にはちゃんとした定義があります。
ある音と、1オクターブ上の音の周波数を比べると、ちょうど2倍になっているのです。
例えば、ある「ラ」の音を440Hzとした場合、1オクターブ上の「ラ」は880Hzとなっています。

🎹周波数(振動数)…1秒間に音が振動する回数(より正確に言うと、波動や振動が、単位時間当たりに繰り返される回数)。単位はHz(ヘルツ)。これが高いほど音の高さも高くなる。

さきほどご説明したとおり1オクターブは12音ですので、ある音と次の音との周波数比は、2の12乗根(12回かけ算すると2倍になる値)となっています。

=2^(1/12)

と入力してみてください。
1.05946309436…と出てきます。
(Excelって何乗根でも計算できるんです!✨)

ざっくりいうと、ド#(=レ♭)はドの1.06倍、レはそれのさらに1.06倍…となっていき、12音上(=オクターブ上)のドは元のドのちょうど2倍となっているのです。

🎵音符の名称

🎹全音符が4拍である

ということだけ覚えておけば、あとは名称をかけ算すればよいのです。
例えば
🎹2分音符…4拍×1/2=2拍
🎹4分音符…4拍×1/4=1拍
🎹8分音符…4拍×1/8=1/2拍
🎹16分音符…4拍×1/16=1/4拍

…という具合ですべて計算で出せます。
これ以上のことはピアノの先生である榛木みお先生に聞いてください(丸投げ😝)

🎹昨年の「アドベントカレンダー」企画に参加してくださった記事の一つです!

☆フィボナッチ数列の一般項と黄金比

🌻フィボナッチ数列の一般項を求められますか?

実はこれ、古代から長方形の「黄金比」、つまり「一番美しい長方形の縦横比」として知られる有名な数字です。

🌻フィボナッチ数列の隣り合う数どうしの比を求めてみてください。

2 : 3 = 1 : 1.5
3 : 5 ≒ 1 : 1.666666
5 : 8 = 1 : 1.6
8 : 13 = 1 : 1.625
13 : 21 = 1 : 1.61538

いかがですか?どんどん黄金比に近づいていっているのがわかりましたか?

🌻フィボナッチ数列の隣り合う2項の比は黄金比に収束していく

☆階段の昇り方

階段を1段または2段ずつ昇るときの昇り方が何通りあるか考えてみましょう。

3段めは、これらを足した3通りになるのがおわかりでしょうか?
いま、階段は1段または2段ずつでしか昇れないのですから、3段めにいる人は、その手前では「1段めか2段めのどちらかに必ずいた」からです。

このように、3≦nにおいて、n段めへの行き方は、

[n-1段めへの行き方の数]+[n-2段めへの行き方の数]通り

あることになります。

1つ前と2つ前を足せば今の数が求まる…考え方はフィボナッチ数列とまったく同じです。ただし、フィボナッチ数列は最初の2項が「1,1」であるのに対し、階段問題では「1,2」で始まることにご注意ください。

🌻n 段の階段を1段または2段ずつ昇るときに、昇る場合の数は Fn+1 通りある

🌻フィボナッチ数列の隣同士の項は、必ず「互いに素」になる

ということも知られています。
⚠️「互いに素」…2つの整数が1以外に共通の約数を持たないこと。
例えば、「5と8」に共通する約数は1だけですから、「5と8は互いに素である」という言い方をします。

背理法と数学的帰納法を用いれば高校生でも証明できますので、数学の得意な方こちらもぜひ挑戦してみてください🙇‍♀️

というわけで、11/23「フィボナッチ数列の日」にちなんで、関連するいろんな話題を取り上げてみました。

久しぶりに、ガッツリと数学を語る記事でございました🍎
人生長くやっているとムショーに微分積分したくなることは誰しもあると思いますけれども、今日11/23は数列について学習してみるのもよいと思います。
どうしても文系だという方は、『蜜蜂と遠雷』の読み返しなどいかがでしょうか?

行列によるフィボナッチ数列の項の計算(1)

Programming

こんにちは、Reveです。
常日頃からネタに困っている技術担当です。
今日はどうしようか考えた挙句、プログラムの話になりました。
最近、ちょくちょく「CodeIQ」で問題を解いていたりしますが、
その中でフィボナッチ数列の演算問題が出てきたので、今回は当方のプログラムを載せてみたいと思います。
問題の回答期限はとっくに終了しているので、ネタバレみたいな記事になってもいいよね(・ω <)
【フィボナッチ数列とは】
詳しくは知らなくても、名前くらいは聞いたことがある人も多いでしょう。
イタリアの数学者レオナルド=フィリオ=ボナッチ(レオナルド・フィボナッチ)にちなんで名づけられた数列です(ちなみに、フィボナッチ本人が発見したのではなく、著書で紹介しただけだそうで。あと、本名はレオナルド・ダ・ピサ。へー)
この数列の定義は、 3項目以降のある項が前の2つの項の和 になるということで、
これを数式で表すと下のようになります。
なお、最初の2つの項は、それぞれ0, 1と与えられます。
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 (n > 1)
面白い特徴として、項数が大きくなるほど、ある項とその前の項の比がいわゆる「 黄金比 」に近い比率となる性質を持ちます。

黄金比とは長方形の縦横の比で、ある長方形から短い辺の正方形を切り取った時に、残りの図形の縦横比が元の図形と同じになるような長方形のものを指します。
古代ヨーロッパでは最も美しい長方形の比率と考えられ、自然界にも数多く現れる(花びらの数、カタツムリの螺旋など)ことでも有名です。
【プログラミングでどうするか】
さて、一通り特徴を書いたところで、プログラムを使ってどのように解くかを見ていきましょう。
まず、10~100の位までの小さい項を求めるのであれば、数式の通りに求めていくのも良いでしょう。
1から計算させるより、

直前の計算結果を覚えておいてそれを次の計算結果に使用 したほうが処理が断然早くなります( 動的計画法 )フィボナッチ数列の一般項 。

ところがっ、CodeIQはそれを許してくれない!何故なら、数千万の位の項を求めさせられるから!!
そして、時間がかかるとタイムアウトするからぁ…残念.
計算量が多くて時間のかかる処理は、(たとえ正解にたどり着くとしても)受け付けてくれないんですね。
そのため、高速で処理できる方法を考えます。 フィボナッチ数列の一般項
フィボナッチ数列の一般項は次の数式で与えられるため、これを計算して整数部を導出する手段も考えられます。

問題は平方根を求める方法とその精度ですが、普通に数学用ライブラリや浮動小数点を使用して計算するには
計算時間はともかく、精度がだいぶ怪しい(フィボナッチ数列の一般項 100を超えるともう誤差が発生するようです)。
一応、複素数を扱うような形で計算できる( 有理数と無理数の計算に分けて、有理数の部分のみ求める )ようですが、当方は別の手段で求めることにしました。それが行列のべき乗算ッ….
【行列での求め方】
フィボナッチ数列を行列で表すと、以下のようになります。

つまり、, >の2次元行列をN回かければ、求めたい項の値が導出できるのです。
(行列に限らず)べき乗の計算は、普通に乗算すればN回の計算になりますが、少し工夫(フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 この記事を参照)することでlogNのオーダーで求められるようになります。項の位が大きくなるほど効果は歴然と現れます。
【次回は】
と、プログラムまで解説すると長くなってしまうので、実装に関しては次回に持ち越します。次回の更新までに考えてみるのも良いかもしれません(当方の実装より良いものもできると思いますしorz)。
ではまた。
【参考】
こちらのサイトを参考にしました。
projectpn フィボナッチ数の高速計算 (http://www16.atwiki.jp/projectpn/pages/34.html)
TIM Labs フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る) (http://labs.timedia.co.jp/2012/11/fibonacci-general-term-using-rational.html)
from scratch 動的計画法でフィボナッチ数列の計算を早くする (http://yosuke-furukawa.hatenablog.com/entry/20120120/1327056359)

フィボナッチ数列の一般項

-問題-
階段を1段ずつもしくは2段ずつ(つまり、一段飛ばしで)上っていくことを考える。
(1)3段の階段を上る方法は何通りあるか。
(2)15段の階段を上る方法は何通りあるか。

フィボナッチ


金曜日の講義で数列の話が出てきました。
そして、自然界にも関係している特殊な数列として「フィボナッチ数列」が紹介されました。
フィボナッチ数列とは「2つ前の項とその前の項を足したら次の項になる数列」のことです。
具体的に、最初の2項を0と1としたときには
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……
という感じです。
この数列は自然界に関係している例としては、ひまわりの種の数です。
ひまわりの種の数は中心から円状にたどっていくとその数の並びはフィボナッ
チ数列となっています。
ほかにもありますが、フィボナッチ数列に関する本とか読んでみるといろいろ紹介されてます。
この数列の驚くべきところは一般項です。
一般項とはnに数列のn番目の項を表したもので、最初の項が0,1のときのフィボナッチ数列の一般項は

となります。フィボナッチ数列はすべての項は整数なのですが、この一般項は見ても分かるように無理数が入っているところです。
いや~びっくりですね。久しぶりに数学に感動した昨日でした。

問題についてですが、フィボナッチ数列をうまく使うと解けます。
(1)は簡単でフィボナッチ数列を使わずに出来ます。
1.3段を1段ずつ上る
2.最初の1段をまず上り、残りは2段一気に上る。
3.最初の2段を一気に上り、残りの1段を上る。
の3通りですね。
では15段は?というと
ヒントは1段を上る方法は何通り?
2段を上る方法は何通り?
3段を上る方法は何通り?
4段を上る方法は何通り?
5段を上る方法は何通り?
ここまでくるとある規則性に気づくはず!
15段目の答えは後日にお知らせします。

Fibonacci

フィボナッチ(Fibonacci)数 フィボナッチ数列の一般項 を求める.

フィボナッチ多項式 を求める.

スコープ (41)

数値評価 (フィボナッチ数列の一般項 4)

特定の値 (6)

記号的な n と x についての Fibonacci 多項式:

, Fibonacci2]=5" width="52" height="15" /> となるような の値を求める:

可視化 (フィボナッチ数列の一般項 5)

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の実部をプロットする:

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の虚部をプロットする:

関数の特性 (14)

TemplateBox[</p>
<p>Fibonacci は鏡特性 , Fibonacci](z)<i>フィボナッチ数列の一般項</i> =TemplateBox[, Fibonacci](z) フィボナッチ数列の一般項 を持つ:

n についての 次導関数の式:

級数展開 (4)

の周りの最初の3つの近似をプロットする:

関数の恒等式と簡約 (2)

一般化と拡張 (2)

アプリケーション (13)

整数をフィボナッチ数 の和として表す方法がいくつあるか計算する:

ラメ(Lam é )の定理は を計算するユークリッドのアルゴリズムのステップ数を拘束する:

が , Fibonacci]" width="17" フィボナッチ数列の一般項 height="15" /> を割るなら , Fibonacci]" width="15" height="15" /> は , Fibonacci]>, Fibonacci]" width="24" height="17" /> を割る:

gcd(TemplateBox[<n></p>
<p>これはより一般的な恒等式 , Fibonacci],TemplateBox[, Fibonacci])=TemplateBox[, )>>, Fibonacci] フィボナッチ数列の一般項 の際立ったケースである:

, Fibonacci], m>, Mod]" width="56" height="15" /> の数列は固定した自然数 の場合 に関して周期的である:

の場合,周期は フィボナッチ数列の一般項 に等しい:

特性と関係 (15)

フィボナッチ数 (13)

フィボナッチ多項式 (2)

考えられる問題 (3)

おもしろい例題 (8)

チュートリアル

関連するガイド

関連リンク

  • ▪ 実装に関するノート: 数値および関連関数
  • MathWorld
  • The Wolfram Functions Site
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: フィボナッチ数列の一般項 More about Numbers
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: Writing Good Code (フィボナッチ数列の一般項 A New Kind of Science)

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